今回の数学エッセーは, ある掲示板で見た次の問題に回答を与えます:
『f: R → R を周期 1 の連続関数とする時, f は一様連続であることを証明せよ.』
証明. f = gh : R → R/Z → R
と分解できる.
ここに, h: R → R/Z は商位相群への標準準同型, g: R/Z →R は連続写像.
しかるに, h は位相群の準同型だから一様連続, R/Z は S^1 に位相同型だから,
コンパクトで, コンパクトハウスドルフ空間から R への連続写像の gも一様連続となる.
したがって, 合成 f = gh も一様連続.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
