更新しました.
https://www.researchgate.net/publication/352166051_jifenlun_buzunoto
今回は, ルベーグの微分定理とその周辺の定理 (被覆定理やハーディ・リトルウッドの極大不等式.) を整備していました. (上記 pdf section 8.1, 8.2, 8.3.)
定理を一つ紹介します.
μ を数直線 R 上の正値 Radon 測度, F を R バナッハ空間, f : R \to F を局所 μ可積分関数とするとき,
μ 殆ど至る所の x ∈ R に対して
f(x) = \lim _{r \to 0+} (1/μ([x-r, x])) \int _{[x-r, x]} f(z) dμ(z)
= \lim _{r \to 0+} (1/μ([x, x+r])) \int _{[x, x+r]} f(z) dμ(z)
= \lim _{r \to 0+} (1/μ*1 \int _{(x-r, x]} f(z) dμ(z)
= \lim _{r \to 0+} (1/μ([x, x+r))) \int _{[x, x+r)} f(z) dμ(z)
が成り立つ.
――
この証明は Vitali の被覆定理やハーディ・リトルウッドの極大不等式などの, ハード・アナリシスが必要です.
文責: Dr. 加藤木 一好
*1:x-r, x]
