今回の数学エッセーでは, 連結集合についての次の問題を解説します: 定理: X を連結位相空間, A, B を X の閉集合で, A∩B が連結であるとする. この時, A と B の両方が連結である. 証明. 帰謬法によって証明する. 仮に, A が連結でないとすると, A の空でな…

今回の数学エッセーでは, ローマン・メンショフの定理を紹介します. 定理 (ローマン・メンショフ) U を複素平面 C の開集合, f:U → C を連続写像で, U から R への連続写像 u, v を使って f = u + iv と書き, u, v を実2変数実数値関数と見做したとき, u, v …

今回の数学エッセーでは、下記の問題について考えます: U を R^2 の開集合, f : U → R を写像で, 任意の z ∈ U に対して D_1 f(z) と D_2 f(z) が存在し, D_1 f , D_2 f : U → R は 点 a = (a_1, a_2) ∈ U に於いて連続とする. この時, f は点 a ∈ U に於い…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 下記の問題を考えます: 問題: r, n を 0 < r, n なる自然数とし, A を可換体 K 上の n 次正方行列で, A^r = 0 かつ A^{r-1} ≠ 0 とする. 今, x を A^{r-1} x ≠ 0 なる K^n の元とする時, K^n のベクトルの列: x…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の問題を扱います. 問題. X, Y を集合とする時, Y∩Z = φ かつ双射 f: X → Z が存在するような 集合 Z の存在を示せ. 回答: X が有限集合 {a_1, ..., a_n} の時は, n に関する帰納法により, Y ∪ {b_1, ..., b_…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の質問について論じます. 『Q 上に R 線型空間構造はつきますか？』 答え: つきません. 仮に、Q 上に R 線型空間構造がつくと仮定すると, その線型空間構造に関して 0 でない Q の元 a を取ると, Ra ⊆ Q とな…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 以下の問題について解説します: M を m 次元位相多様体, N を n 次元位相多様体で, M と N は同相な時, m = n を証明せよ. 解答: f : M → N を同相写像とする. x ∈ M を任意に取ると, f は同相写像 g : (M, M -…

今回の数学エッセーは, 点列の収束と集積点についての話題です. 一般に, 位相空間 X 内の点列 (a_n)_{n ∈ N} が X 内にただ一つの集積点 b を持っても, (a_n)_{n ∈ N} は X に於いて b に収束するとは限りません. 反例: X = R, a_{2k} = 1/k, a_{2k+1} = k …

今回の数学エッセーでは, ブルバキ『数学原論』多様体の, principal fiber bundle の記述の間違いを紹介します. 具体的には, p.61, 6.2.2 です. G が P に適性かつ自由に作用するとありますが, G が P に適性作用するためには, 底空間 B がハウスドルフであ…

今回の数学エッセーでは, ブルバキ『数学原論』多様体, 2.2.4 の, 一点の補集合で微分可能な関数の延長の問題に関する反例を紹介します. 2.2.4 では, ノルム空間 E の開集合 U のある一点 a の補集合 U - {a} から分離多ノルム空間 F への写像 f が微分可能…

今回の数学エッセーでは, ブルバキ多様体の記述の間違いの一つを紹介します. 目立つ間違いを具体的に指摘すると, vol.1 の p.23, 3.3.1 で, 関数 f:U → F が整型であることと微分可能であることとが同値であるという主張ですが, これには反例があります. (複…

今回の数学エッセーでは, クリフォード群についての, ブルバキ『数学原論』の記述の間違いを紹介します. ブルバキ『数学原論』代数 vol.7, p.129, 補題 5 で, G^+ は G の指数 2 の部分群であるという記述がありますが, この主張は, E が 奇数次元の場合は, …

今回の数学エッセーでは, 四元数体 H を係数とするノルム空間上の微分法がなぜ流行らないのか, その理由を解説します. 普通は微分と言ったら実または複素関数です. H 上の微分可能関数の定義の最も簡単なものは, 以下のようになります: 基礎体を H とし, E …

今回の数学エッセーでは、以前にも述べた、定義による保存拡大についてです。 実は、私は初めから統語論的に証明を与えて、一安心して使っていたのですが、 その統語論的な証明が、一般的には難しいとのご意見を聞いたことがあります。 これが完璧な定式化だ…

今日のテーマは, 商多様体 です. pdf にまとめました. 上記リンク先の, 『微分多様体の基礎 6』です. 商多様体の他にも話題がありますが, 商多様体については目次を見れば, 何ページ目に記載があるのか, すぐにわかります. 商多様体の基本定理は, X を多様体…

久しぶりの数学エッセーです。 今回は、全不連結コンパクトハウスドルフ空間 X の任意の二点 x, y について, x の X における開かつ閉な近傍 V が存在して, ¬ y ∈ V となるかという問題を考えます. 答えは肯定的で, 文献 [1], p.177 の命題 6 によると, x の…

数学をわかってない人が以前、 『ほとんど至る所一様連続』 という言葉を発していました。 本当にわかっていない。 基本ができていませんね。 さてそれでは、『ほとんど至る所』という言い回しについての解説をします。 (X, μ, B) を測度空間とします。つま…

スカラー体が離散でない可換付値体の場合の解析関数の陰関数定理を定式化しました. 微分多様体の基礎 2 解析関数と言っても, ノルム空間 E から分離多ノルム空間 F への解析関数で, 一般に想定しているのは, 無限次元です. この pdf での陰関数定理は, 実又…

今回の数学エッセーは, ある掲示板で見た次の問題に回答を与えます: 『f: R → R を周期 1 の連続関数とする時, f は一様連続であることを証明せよ.』 証明. f = gh : R → R/Z → R と分解できる. ここに, h: R → R/Z は商位相群への標準準同型, g: R/Z →R は…

学問のルーツを、ギリシャ哲学であるという人も、この世にはいますが、 数学は違っております。 数学のルーツは、数を数えたり、長さや面積、時間など、量の測定から始まっています。 シュメール人や、古代エジプト人、その他諸々の人たちの遺した数学の技術…

今回の数学エッセーでは, 3元数体の非存在の証明を行います. 次の定理が成り立つ: 定理: D = R^3 には, 次のような体構造は入らない: D は R の拡大体で, なおかつ, その体構造は, D のR^3 としての R 線型空間構造と両立する R 線型環 の構造を定める. 証明…

ある掲示板で、下記のような質問を見つけました： 『（微分多様体は）実多様体としてならば、必ず次元の大きな射影空間に埋め込めるの？』 その通りです。 実射影空間 PR^n は、S^n の -x と x をそれぞれ同一視して得られる、 実 C^ω 級多様体です。 S^n の…

今日の数学エッセーでは、以下の文献の中から、 選択公理から整列可能定理とツォルンの補題を導く際、 ZF のどれだけの公理が必要かを紹介します。 公理的集合論入門 結論を言ってしまえば、等号述語論理の公理系に加え、 [1] 外延性の公理 [2] 対の公理 [3]…

今回の数学エッセーでは, 定礎な関係のノイマン級数は再び定礎であるという定理を, ZF 内で証明します. E を 集合, R を E 上の定礎な二項関係, S を R から定まるノイマン級数とする. つまり, S は E 上の 2項関係で, xSy は, E のある有限列 x_0, … , x_n …

仕事に役立てることを想定して、 私は現在、幾何公差の勉強もしています。 アマゾンで一冊本を購入して読んでいます。 その中で、幾何公差の許容域と言うのがあって、 二つの方式で表現できるとのこと。 つまり、直交座標系と極座標系。 懐かしいですね、物…

ある掲示板で, 次のような疑問を見かけました: 『C を複素数体, f: C → C を, f(z) = |z|^2 で定義すると, f は原点で Cauchy-Riemman の方程式を満たしているから, f は原点で正則と言えるのではないですか?』 いいえ, 正則関数というのは, 定義域全体で Ca…

微分多様体の基礎 1 ファイルを更新しました. ブルバキ多様体の第1, 2章の完全な証明がついています. （第1, 2章の定式化は, これで完了です.） 第1, 2章のレベルならば, 私でも完全な証明をつけられますが, 第 3章以降は, そうは行かなくなるでしょう.

ブルバキ多様体補足ノート、 微分多様体の基礎 1 更新しました。 今回の更新は、第 23 章です。 重要な定理の証明があります。 定理 r を 0 以上の整数, K = R, or C, E を K ノルム空間, U を E の開集合, F を点列完備な分離多ノルム空間, f : U → F を写…

ブルバキ 多様体 section 2, 補足ノートを更新しました. 微分多様体の基礎 1 今回の更新は, pdf の第21章 です. 微分と積分の交換可能性についての定式化のみならず, F をバナッハ空間, 1 ≦ p < ∞ とする時の, L^p_F に値を取る関数の微分についても論じてい…

ブルバキ 多様体のノートを更新しました。 微分多様体の基礎 1 です。まだまだ途中ですが、定期的に、話題を提供していきます。 微分と積分の順序が交換できるかどうかは、 エレメンタリーな問題で、 L. Schwartz の解析学にも、その定式化があります。 この…