今回の数学エッセーでは, 前回の標準的に同型の概念についての記事 に引き続き, 有名な次の定理を証明したいと思います: 標準的に同型と言う概念の定義については, 上記の過去記事を参考にされてください. K を可換体, A を有限次元 K 線型空間と K 線型射像…

今回の数学エッセーでは, 数学の本や論文によく現れる, 「標準的に同型」ないしは「標準的な同型」 と言う用語について解説したいと思います. 「同型」と言う言葉だけならば私たちは即座に, 誤解を伴わずに理解できますが, これに「標準的に」または「標準的…

今回の数学エッセーでは, 次の命題について, 簡単な解説を試みます. もちろん, きちんとした証明は長くなりますので, 文献を紹介するにとどめます. 命題 T は述語論理よりも強い形式的体系, A は T の論理式で, T の任意のモデルに関して A は真と仮定する. …

今回の数学エッセーでは, ユークリッド空間の連結開集合 U の任意の 2 点 x, y に対し, x, y を結ぶ, 座標軸に平行な U 内の線分からなる 折れ線 L が存在することを証明します. x∈U を固定します. 座標軸に平行なU 内の線分からなる折れ線で, x と結べる U …

今回は, Yahoo 知恵袋にあった, 以下の質問について, 取り扱います. f : [0, +∞[ → R が C^1 級で単調減少, lim _{x → +∞} f(x) が存在するとき, lim _{x → +∞} Df(x) = 0 となるか? ここでは, f が狭義単調減少の場合の反例を手短に構成してみます. g : [0,…

今回は, ある質問サイトで見かけた, 数学的帰納法がなぜ正しいのか? という話題です. 実は, 数学的帰納法が「正しい」と言う時, その意味は, 大きく分けて, 次のふた通りの問題に解釈できます. その 1 数学的帰納法は, 数学のもっと基礎的な考え方から証明で…

今回の数学エッセーでは, 確率分布の不偏推定量について, 分散と標準偏差の例を扱います. 独立確率変数 X_1, ・・・, X_n が同一の分布 F に従い, 分布 F は 2次のモーメントまでを持つとします. μ を F の平均, V を F の分散とします. つまり, X を F に従…

今回, ある掲示板で見かけた, 次の問題について論じます. f : R → R を, f(x) = 1 ・・・ x が有理数の時. f(x) = 0 ・・・ x が無理数の時. で定義する時, g に関する微分方程式 Dg(x) = f(x) を解け. 答え 解なし. なぜかと言うと, 以下の定理が成り立つか…

今回の数学エッセーでは、Yahoo 知恵袋の数学質問コーナーで見かけた、 以下の問題について、論じます。 （Yahoo ブログから、引っ越してきています。） 問題: A を実対称行列とするとき, B^2 = A となるような 実対称行列 B が存在するための必要十分条件を…

今回、商多様体の文献を紹介します。 title: C^∞ differentiable spaces Juan. A. Navarro Gonzalez Juan. B. Sancho de Salas 共著 です。 本の方は、 p.129 から、可微分多様体の同値関係による 商位相空間に多様体構造がつくための必要十分条件、 及びそ…

今回は、この話題について解説します。 「9 ÷ 0 = ?」 割り算を習いたての、小学校低学年の子供にどうやって 理解させれば良いでしょうね？ まず、いきなり 0 で割らないで、 9 ÷ 2 くらいから始めてくださいね。 9 ÷ 2 = 4 あまり 1 ですね。 この意味は、 …

ある人が、このような質問をされていました。 「基礎論以外の数学で、濃度はどのように使われていますか？ 病的な反例への使用を除いて。」 この質問には、僕は答えを持っています。 僕の修士論文の、本文 p.25 （pdf の通し番号で、26 ページ目） をご覧く…

私たちは高校数学で, sin(x), cos(x) の微分可能性を習います. しかし, 高校教科書に実際に書いてある証明は, 論理的には厳密ではありません. 多くの場合, lim_{x→0, x≠0}(sin(x))/x = 1 の証明がネックとなりますね. 問題なのは, 高校教科書では sin, cos …

今回は、ZF 集合論から置換公理を除いた形式的体系 Z からは、 順序数 ω+ω の存在が証明不可能であることを示します。 以下に、証明のアウトラインを述べます。 まず、Z に於いては、順序数の概念は、 ZF 同様、次のようにして定式化されます。 x が順序数で…

タイトル通りの問題を論じます。 これは、某質問サイトで見かけた、数学の問題です。 結論を先に言います。 関数 f : R → R が連続な周期関数の時、 f は必ずしもリプシュッツ連続とはなりません。 反例 f(x) = Arcsin x (-1

Yahoo 知恵袋で、下記のような質問を見かけました： I を R の区間, f : I → R を微分可能関数, a∈I とするとき、 lim_{x→a, x≠a} lim_{h→0, h≠0}(f(x+h)-f(x))/h = lim_{h→0, h≠0} lim_{x→a, x≠a} (f(x+h)-f(x))/h i.e., lim_{x→a, x≠a}Df(x) = Df(a) が常…

今回、Yahoo 知恵袋で、巡回群の単数群についての質問で、 私が間違った回答をしてしまったので、ここに訂正します。 まず、以下の質問 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13161559563 Z/42Z の単数群は、Z/41Z に同型と言ってます…

さて、今回も、代数系における準同型定理についての論説です。 Part 1 に引き続いて、 Part 2 では、群の準同型について論じます。 群や部分群、正規部分群などの定義については、 良く知られているので、既知とします。 また、群の算法は、乗法的に書くこと…

Yahoo ブログから引っ越してきて, 数学エッセーも, 数学的にこれはいいんじゃない？ と判断したものを, 移植しています. Yahoo から移植してくる数学エッセーの記事は選んでいます. あまりくだらないものは移植しません.

今回は、代数系における準同型定理について、論じます。 この論説はすでに、ブルバキの代数のシリーズによって、 とうの昔に定式化されていますが、 これから群論をはじめとする代数学を学ぶ数学科の学生さんたちにとっての 一助となれば、幸いです。 まず、…

今回は、任意の無限基数 A に対し、 A^2 = A なることを証明したいと思います。 証明、と言っても、私のオリジナルではなく、 良く知られた証明方法を紹介するだけです。 さて、積集合 A×A 内の整列順序 R を, (x, y), (z, w) ∈ A×A に対し、 (x, y) R (z, w…

今回、次のことを証明します 定理 1 円周 S^1 から数直線 R への 1-1 連続写像は存在しない。 言い換えれば、S^1 を R へ、連続的に埋め込むことはできない。 証明 仮に、f : S^1 → R を、1-1 連続写像とする。 S^1 は連結空間で、 連結空間の連続写像による…

毎年恒例の, 茨城県立高校入試が, 明後日に迫りました. 僕の担当する生徒たちにも, 頑張って欲しいです.

今回は、リフト定理と複素対数について、論じます。 記号についての約束は、 C を複素数体、C-{0} を C から 0 を取り除いた位相空間、 Z を整数全体、R を実数体とします。 ホモトピー論の基本で、次のリフト定理があります： リフト定理 p: E → B を被覆空…

「算数（又は数学）って、なんの役に立つの？ 何のために計算を練習するの？ 電卓があればいいじゃない。」 幼い子供からこう聞かれて、困ったことのある親御さんは多いと思います。 では、こういう疑問に対して、どう答えたらよいか。 僕は、その答えを一つ…

今回、タイトルは何やら大袈裟ですが、 某巨大掲示板にあった以下の疑問に、ここでお答えします。 内容は, 大学 1年レベルの数学です. f が R の開区間 I で微分可能な実数値関数で, -1∈I, かつ (x+1)f ' (x) = 2(x+1) ∀x∈I が成り立っているとき、 f ' (x) …

今回、ある掲示板で話題になっていた、 有理数であることも無理数であることも ZFC から証明不可能な実数を構成したいと思います。 もちろん、ZFC の無矛盾性は仮定します。 N を可算無限基数, M を最小の非可算基数とします。 ZFC の論理式 A(x) を、以下の…

今回は、同じ太さの円柱 3本を互いに直交させてできる 立体の体積を求めたいと思います。 集合の記号で表すと, A = { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ y^2 + z^2≦1 かつ z^2 + x^2≦1 } なる A の体積を求めたい, ということです. まず注意として, B = { …

今回は、茨城大学理学部 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 とタイトルをつけましたが、この講義ノートの内容についての論説ではありません。 この講義ノートの参考文献として挙がっている、 [1] 「ベクトル解析入門」一松信著 についての話題です。 この…

今回も、2008 年度に茨城大学理学部で開講されたベクトル解析の講義ノート、 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 について、重要なことを論じます。 重要なことというのは、このノート、およびこのノートの参考文献 [1]「ベクトル解析入門」一松信著 で論じ…